与证实有关的最著名的现代悖论是由德裔美国哲学家卡尔·G·亨佩尔（Carl G. Hempel）1946年提出的“乌鸦悖论”。这一悖论指向归纳法，即体现的是一个进行概括的过程。对于那些相信科学可以分解为按部就班的科学方法的人来说，乌鸦悖论是一个坏消息。
亨佩尔设想有一位鸟类观察者试图检验一个假说：“所有乌鸦都是黑色的”。[1]检验这个假说的传统方法是搜寻乌鸦并检查其颜色。每发现一只黑乌鸦都是对假说的证实[2]（提供证据）。相反，只要发现一只其他颜色的乌鸦就立刻驳倒假说。只要找到一只红乌鸦，你就不用再费事了：假说已经被推翻了。
对以上说法我们全无异议。亨佩尔悖论这样开始，原来的假说可以换一种表述方式，“所有非黑的东西都并非乌鸦”。根据逻辑原则，这两种表述方式是完全等价的。如果所有的乌鸦都是黑色的，那么任何颜色非黑的东西当然不可能是乌鸦。这两个语句之间的变换被称为“换质位法”，即一个命题经过换质位得到的新命题与原命题在意义上等价。
与原命题相比，“所有非黑的东西都是非乌鸦”要容易验证得多。每当你见到一件颜色不是黑色的东西，而且证实此物不是乌鸦，这个命题就得到了一次证实。我们不必在人迹罕至的潮湿荒原上守候乌鸦，只要找一些非黑并且不是乌鸦的东西就行了。
如果我们见到一只蓝松鸦，它不是黑色的，也不是乌鸦，这就证实了原假说换质位之后的等价性；同样，一只红鹤、一只紫燕、一只绿孔雀都可以作为证据。当然，我们甚至不必要求作为证据的非黑的东西必须是鸟，一条红鲱鱼、一枚金戒指、一条蓝草虫，甚至本书的这一页白纸，都能提供证实。这位鸟类观察者没有必要告别他的安乐椅，出去搜集证据证明所有的乌鸦都是黑色的，此刻你的视野中已充满了证明这个假说的证据。
显然这是荒唐的，但是更荒唐的还在后面。为了深入讨论，假设我们用如下策略消解亨佩尔悖论：蓝松鸦、红鲱鱼等确实证实了原假说，虽然只是在一个无穷小的程度上提供了证实。如果你能招来一个具有魔力的精灵，这个精灵可以在一眨眼之间检验世界上所有非黑色的东西，并且发现这些非黑色的东西中没有一样是乌鸦，这无疑证明了不存在非黑色的乌鸦，即所有的乌鸦都是黑色的。这样看来，也许用一条红鲱鱼证实所有的乌鸦都是黑色的并不荒唐。
先别急着为如上回答得意。很明显，同样是这条红鲱鱼，它也能证实“所有的乌鸦都是白色的”。这个命题换质位之后得到“所有非白色的东西是非乌鸦”，这条红鲱鱼是非白色的东西，证实了换质位之后的命题。一个观察结论不可能同时证实两个相互排斥的假说。[3]一旦你接受了这个显而易见的矛盾，那么就没有什么是不可“证明”的了。例如，这条红鲱鱼证实所有乌鸦的颜色都是黑色的，同时也证实所有乌鸦的颜色都是白色，因此，黑就是白。从合理的前提出发推出了一个明显的矛盾。
对于科学家来说，亨佩尔悖论不仅是一个谜题。任何假说都有一个换质位的形式，而证实这个换质位形式的例证通常极容易发现。这里显然出了错误，可是错误在哪儿呢？
亨佩尔的乌鸦精妙地展示了证实问题中的危险和困惑。在我们将要讨论的所有主要悖论中，这个悖论是最接近得到解决的悖论之一。在研究如何解决之前，有必要做一点引申，讨论一下这个悖论的背景。
证实
最简略地说，证实是对真理的探求。证实不仅是科学的核心动力，而且它就贯穿于我们的日常生活中。
分析证实就像分析喷嚏一样：我们知道它是怎么回事，但通常它都是自动完成的，我们无法确切地说出它是如何运作的。与证实有关的悖论有一个共同属性：包含下意识的预期。这些悖论的成因很可能与此大有关联。这些预期可以把我们引入歧途。
我们在高中时就学过一种“科学方法”，大致如下：我们首先提出一个假说，即关于世界如何运作的猜想，然后试图通过观察或实验进行检验。我们收集到的证据或者能证实假说，或者能反驳假说。在不涉及某些重要条件的前提下，以上方法是正确的——我们在高中学到的知识大多具有这种特点。
最有用的假说是概括陈述。亨佩尔悖论对一条常识性的原则——所谓的“尼柯德标准”——有些嘲弄意味，这条原则以哲学家让·尼柯德（Jean Nicod）之名命名。用黑乌鸦的例子表述尼柯德标准：（a）发现一只黑乌鸦使得概括陈述“所有乌鸦都是黑色的”为真的概率上升；（b）发现一只非黑乌鸦推翻概括陈述；（c）观察到乌鸦以外的东西，与概括陈述无关。一个黑色的保龄球或一条蓝色的草虫对于乌鸦的颜色不提供任何信息。尼柯德标准蕴含在全部科学探索中，如果这条准则出了问题，我们就遭遇了真实而严重的麻烦。
只要发现一只黑乌鸦，就提供了一条对“所有乌鸦都是黑色的”这一假说有利的证据，然而，这当然不足以证明这个假说就是真的，任何一个单独的观察结果都不能做到这一点。多次发现黑乌鸦，并且从未发现其他颜色的乌鸦，便会（非常合理地）增加我们对于“所有乌鸦都是黑色的”这个假说的信心。
证实问题比表面看来复杂。你也许认为，证实一个假说的证据越多，它为真的概率就越大，其实未必。有可能出现这种情况：两个支持性的观察结果合在一起却证明假说为假。下面这个思想实验就是如此，这是在哲学家韦斯利·萨蒙（Wesley Salmon）的启发下设计的。
物质与反物质
假定宇宙中的某些行星由物质构成，另一些由反物质构成（我们一直如此推测）。物质和反物质看起来一模一样。用望远镜观测遥远的星球时，我们无法辨别它是由物质构成的还是由反物质构成的。甚至这颗行星发出的光也无法透露出任何线索，因为光子的反粒子就是光子本身，一颗反物质的星球和一颗正常的星球在发光方面没有任何差别。唯一不同的是，当物质与反物质接触时——“轰”！二者将同时在巨大的爆炸中湮灭。
这种不幸的事实使得星际接触充满危险。从行星X出发的飞船的命运依赖于从行星Y出发的飞船。两艘飞船通过无线电联络（无线电波由光子构成，既非物质也非反物质），飞船上的计算机解译了对方的语言，双方建立了外交关系。两艘飞船决定对接并互派亲善大使，一切都很顺利，直到最后一刻。两艘飞船对接的结果取决于行星X和Y的构成——可能是“轰”的一声爆炸，也可能不是。如果其中一颗行星是物质的而另一颗是反物质的，则两艘飞船都将灰飞烟灭（如果二者都由反物质构成，爆炸就不会发生）。
某一天，地球上的天文学家报告说他们观测到两个微弱的光点相互接近，可能是两艘飞船。他们不能肯定观察到的对象一定是飞船，但是根据以往经验，他们确信每个光点有30%的概率是飞船，有70%的概率是不相关的自然现象。另外根据以往的经验，相互接近的一对飞船总会进行对接——看来宇宙中的外星人对“物质—反物质”问题相当健忘，他们必须在痛苦的教训中学习。
我们的问题是：这二者会不会爆炸？拉斯韦加斯的博彩公司开始就此问题设置赌局，接受残酷的投注。博彩公司的推理是这样的：已知宇宙中2/3的行星由物质构成，1/3的行星由反物质构成。每个光点有70%的概率是自然现象，与我们的讨论无关；有20%的概率是由物质构成的飞船；有10%的概率是由反物质构成的飞船。
我们分别用A和B表示两个光点。如果A是物质飞船而B是反物质飞船，或者A是反物质飞船而B是物质飞船，在这两种情况下都会发生湮灭（两种情况相互排斥）。第一种情况发生的概率是20%乘以10%，即2%；第二种情况发生的概率是10%乘以20%，也是2%。由于两种情况相互排斥，所以湮灭发生的总概率为2%加上2%，即4%。
博彩公司根据这种方法计算出的概率设置对下注者的赔率。现在假定有一个太空探险家回到地球，他的飞船在太空中曾经和对象A发生摩擦，这种事故发生的概率只有一万亿分之一。此人知道对象A是一艘飞船，而且肯定是由正常物质构成的（因为他们接触时没发生爆炸）。这个探险家回到地球后，算出了A和B将发生湮灭的概率，并据此在拉斯韦加斯下注。
他在下注时会充分利用自己的“内部消息”。他知道对象A是一艘飞船这一事实，而所有其他人则以为A可能（概率为70%）是一颗小行星或其他自然物。已知A是一艘正常物质飞船，而B是一艘反物质飞船的概率是10%，所以发生湮灭的概率为10%。赌博公司认为概率为4%，而探险家利用更加完备的信息得出的概率为10%。
接下来，假定另一个太空探险家曾经和对象B出过一场事故，从而验证了B是一艘物质飞船，情况又如何呢？第二个探险家当然可以做出与第一个探险家完全相同的推理，并得出结论：发生湮灭的概率将从4%飚升到10%。但是，把两个探险家的信息合并考虑，结论是湮灭根本不可能发生。已知信息已经表明，两艘飞船都是由与地球相同的物质构成的，这意味着发生湮灭的概率是一个大大的0！
绝对证实和递增证实
让我们分别来看两个证据（两个探险家曾与飞船接触），它们都对将发生湮灭的假说提供证实，但是把两个证据放在一起却推翻了假说。在我看来，这是一个反常，而非悖论，因为这种奇怪的转向无疑是可以存在的。各方——包括博彩公司、探险家以及了解两个探险家经历的我们——所做的概率计算都是合理的，证实理论家已针对此类奇异的现象进行了细致的研究。
奇异性部分来自语义。“证实”这个词有两种含义。在日常语言中，我们通常在“绝对”的意义上使用“证实”这个词，表示某事已经最后确定，再无合理质疑的余地。“老板证实桑德拉获得加薪”，这句话意味着，无论在此之前我们有多少疑问，现在我们百分之百地肯定桑德拉获得了加薪。
但实验极少为假说提供“绝对”证实。科学家和证实理论家经常在“递增”的意义上使用“证实”这个词，这种意义上的证实意味着“为某事提供证据”或“增加某事的概率”。我们提到概率，这是因为对概括陈述的证实总是不确定的。
我们可以对不大可能为真的假说提供递增证实，在证实之后，假说依然不大可能为真。对于“老板证实桑德拉获得加薪”这样的语句，我们不会解释成“老板的话使得桑德拉获得加薪的概率从15%增加到18%”，但是在科学研究中，这类证实却是典型的。
在递增证实中，与飞船湮灭问题类似的反常情况很普遍。每个探险家的信息使得湮灭发生的低概率（4%）上升，但上升后依然是低概率（10%）。把两个信息合起来，则把概率降为0。令人感到欣慰的是，当概率值更高，且对假说的证实更接近于绝对意义上的证实时，这种反常不会出现。
为了展示这个结论，我们对概率值做一点儿调整，重新规定整个场景，令博彩公司对实际情况的了解更加充分。每个对象有10%的概率为自然现象，有80%的概率是物质飞船，另有10%的概率是反物质飞船。于是，博彩公司对发生湮灭的计算是“80%乘以10%”加上“10%乘以80%”，即概率为16%。每个探险家已确知一个对象为物质飞船，利用这条信息算出的湮灭发生的概率为10%（和原来的例子一样），这个值等于另一个对象是反物质飞船时算出的概率。现在，每个探险家的估值都低于博彩公司的估值。事情就应该是这样，因为两个探险家对实际情况的了解多于博彩公司，而实际情况是，湮灭发生的概率为0。
反例
从前文中可以看出，证实只是两种可能性中的一种。证据不仅可以证实假说，也可以反驳（或否证）假说。著名科学哲学家卡尔·波普尔爵士（Sir Karl Popper）特别强调反驳的重要性。
也许你会认为，证实和反驳不过是同一个问题的两种表述方式，就好像面对半杯水，你可以说杯子里装了半杯水，也可以说杯子里有一半没装水。其实不然。在证实和反驳之间有一种不对称性：反驳一个概括陈述要比证明它容易得多。
所谓“反例”，是指针对某个假定的规则的例外。例如，对“所有乌鸦都是黑色的”这一猜想，一只白乌鸦就构成一个反例。一只白乌鸦不仅会降低猜想为真的可能性——它还将彻底推翻这个猜想。逻辑学家称之为“否定后件式”（“modus tollens”或“Denying the consequent”）。
“反例”在实际应用中的情况极少如此简单。例如，对于“不存在尼斯湖怪兽”这一假说，已经涌现出许多“反例”——许多人声称目睹了尼斯湖怪兽。然而，大多数科学家依然相信尼斯湖怪兽并不存在。显然，并非每一个所谓的反例都足以推翻一个在其他方面已经获得证实的假说。
许多假说处于人们当前既有知识的边缘，只有在许多附加的辅助性假说得到检验的前提下，原假说才能得到检验。辅助性假说是一些背景性的假设，在这些背景假设的基础之上，我们才能讨论原假说与现有的知识体系如何匹配的问题；还包括显微镜、望远镜以及其他的检验所必需的设备如何工作的假设，等等。这些辅助性假说的存在经常使得“否定后件式”不能即刻生效。
韦斯利·萨蒙引用了一个精妙的案例，在此例中，两个类似的范例分别导致辅助性假说和原假说被推翻。牛顿的引力理论预言了行星的未来运动。在19世纪，大家发现牛顿理论关于天王星轨道的预言始终存在微小的偏差。
有些天文学家怀疑，在天王星轨道之外有一颗未知的行星导致了这种偏差。1846年，这颗未知行星（即海王星）被发现，牛顿理论不仅摆脱了质疑，而且还得到了加强。海王星为牛顿理论提供了进一步的证据。
大致与此同时，水星轨道上的某些不规则现象也引起了人们的关注。天文学家们同样试图在水星附近找到一颗行星来解释这种不规则。法国业余天文学家莱斯卡波特（D. Lescarbault）于1859年报告，他在水星轨道内发现了一颗行星。勒维耶（Urbain Jean Leverrier，海王星的共同发现者之一）[4]相信这颗行星确实存在，并将之命名为“伍尔坎”（Vulcan）。然而，后继的观测者无法观测到这颗行星，他们很快认定这是一个假发现。水星依然游离于计算轨道之外，其偏差不是随机的，而是有规则的，明显不符合 （建立于牛顿的万有引力之上的）开普勒定律的预测。
在此例中，偏差最终被认定为反驳牛顿引力理论的证据。水星轨道的移动是证实爱因斯坦广义相对论的最早证据之一。
海王星和伍尔坎的历史展示了反例的两个特征。其一，一个反例有可能驳倒一条辅助性假说而不威胁原假说。鉴别出辅助性假说和原假说这二者之中哪一个有误是重要的。通常有很多理由令我们相信，立刻构成反驳是罕见的。其二，当一种理论被抛弃时，如果一种新理论既能像原理论一样做出许多成功的预言，又能包含更广泛的内容，则这个新理论就居于有利地位。在太阳系的典型环境下，爱因斯坦广义相对论对引力效应的预言与依照牛顿理论的推测完全相同，只是牛顿理论更加简单。只有在引力场非常强的情况下，两种理论才会出现分歧。在诸行星中，水星距太阳最近，引力效应最为明显。看来只有水星不服从牛顿法则的约束。
新奇的理论
新理论不仅应当能解释它将要取代的旧理论做出的预言，而且应当提供它自己的独特的新预言。用卡尔·波普尔的话说，新理论必须包括更多的“经验内容”。与旧理论相比，新理论必须在更多的经验领域做出更具有可检验性的预言。
新理论应当更多地——而非更少地——向潜在的反驳开放。对于一种新奇的理论来说，其最致命的缺点在于它会被修订成无法被反驳的形式。一个真正的假说是有可能被推翻的。例如这个假说：在满月之夜临近午夜时，有一只鬼出没于老米勒大厦。如果有一些合理的证据证实这种说法（例如几位可靠人士提供的目击证词），那么这个假说是值得考虑的。但这个假说可以改造成不可反驳的形式：一只鬼在那里出没，但是，如果附近有不信鬼的人，鬼就不会出来。这种类型的鬼故事更常见。
不可反驳通常意味着根本不具备接受证实的基本条件。这类理论还能够找到市场，是因为有些人不在乎它的真假，就是愿意相信。没有人会相信以下这些说法：
·灵媒在回忆前生时，他们的回忆极其飘忽，你不能要求他们记起可核对的历史记录（例如，你不能问他们当时法老的妻子是谁）。
·Ufo（不明飞行物）专门绑架那些不被“权威机构”信任的人，所以外星人的存在始终不可判断真伪。
·大脚兽的残骸以异乎寻常的速度分解，所以我们从未发现过大脚兽的骨骼（或者，大脚兽像人类一样精心掩埋了死去的同伴）。
·（占星术的）星象是推动力量，而非强制力量。
以上这些附加条款是在证实失败以后拼凑出来的。通过这样被处理的假说，我们不能立刻得出结论判定它们为假，但是这类假说极少有说服力。如果这种为逃避反驳而进行的事后修订工作达到一定程度，其结果就是波普尔以讽刺的口吻所称的“不可证伪”的假说。“不可证伪”听起来不错，但是仔细思量则不然。一个假说不可能被证明为假，这意味着此假说的内容特别空洞，以至于任何观察都不可能与此假说发生不一致。这种假说实际上等于什么也没说。
比如这个命题：“ESP（Extra Sensory Perception，超感官知觉）确实存在，但是极不稳定，以至于在实验条件下最好的通灵师也不能确保自己必定成功。”某些捍卫超感官知觉的人实际上就是这么为自己辩护的，这种说法是不可反驳的。我们会问：“假使超感官知觉不存在，这个世界又将会有什么不同？”
为什么科学家不本着“疑罪从无”的原则看待“超感官知觉存在”这个假说呢？虽然这个假说得到的证实少得可怜，但是我们并没有什么理由反驳它。主要原因在于，针对任何一组给定的数据，我们可以提出许多种假设。如果我们说，“好吧，超感官知觉存在，因为没有实验结论能够排除其存在的可能性”（事实确实如此），那么我们就不得不接受其他许多同样不可反驳的假说。归根结底，科学家出于简单性的考虑只接受那些可以得到证实的假说。实际上，波普尔说过，科学的目的应当是利用新数据尽可能多地消灭假说。
换质位命题
以上我们对证实的基本理论做了充分的讨论，下面以此为基础重新审视亨佩尔悖论。大多数人初闻这个悖论时，首先感兴趣的是有关换质位命题的问题。“非黑的东西”和“非乌鸦”看起来很别扭。“所有非黑的东西都是非乌鸦”与“所有乌鸦都是黑色的”这两个命题确实等价吗？如果不相同，悖论就消失了。
有一个好办法证明它们在逻辑上确实相同。暂且忽略人类在认知方面的种种欠缺，假定我们有一个精灵仆人，这个精灵有能力在一瞬间查明任何（全部）具体事实。换句话说，精灵可以确定任何由观察直接获得的，未经解释、推论或编撰的感觉结果（也就是休谟所谓的“实际的事情”）。
这个精灵和休谟一样声称，他不大理解概括命题。于是，如果你想知道“所有乌鸦都是黑色的”之类的命题的真假，你只能把概括命题解释为一系列个别观察的汇集，这样精灵才能理解。你必须明确地告诉精灵，为了判断亨佩尔的假说正确与否，它需要做什么。
也许你会感到奇怪，对于“所有乌鸦都是黑色的”这一命题的真假的最终判定，实质上与对黑乌鸦的观察无关。这与前文的讨论明显矛盾，不过请注意，我们现在说的是精灵，而非人类。精灵要做的是确定一个命题终极的、普遍的真理性，而非仅仅寻找一个支持性的证据。对黑乌鸦的观察既无法证明，也无法推翻这个命题。
假如精灵发现了一只黑乌鸦，就可以证明所有乌鸦都是黑色的吗？当然不能。假如精灵发现了100万只黑乌鸦，这回足以证明了吗？还是不能。其他颜色的乌鸦依然有可能存在。“所有天鹅都是白色的”这一命题始终得到一切可能的证据的证实，直到在澳大利亚的发现将其推翻——澳大利亚有黑天鹅。
假定宇宙是无限的，存在着无穷多个与地球类似的行星，这些行星上都有黑乌鸦。因而，精灵找到了无穷多只黑乌鸦。这下可以证明“所有乌鸦都是黑色的”吗？还是不能，原因同上——其他颜色的乌鸦依然有可能存在。在这个节点上精灵会失去耐心（他确实有道理失去耐心），因为很明显，无论发现的黑乌鸦的数量是多少，都不足以说明任何问题。通过寻找黑乌鸦来解决问题是白费力气。
经以上分析我们意识到，问题的关键在于非黑色的乌鸦。亨佩尔的命题仅在一种情况下为假——在某处存在一只非黑色的乌鸦；仅在一种情况下为真——非黑色的乌鸦不存在。为了最终确定真假，精灵必须搜寻非黑色的乌鸦。如果它发现了非黑色的乌鸦，哪怕只发现了一只，就说明原命题毫无疑问为假；如果它找遍整个宇宙，搜索过一切非黑色的乌鸦可能出现的地点，但没有发现非黑色的乌鸦，则说明原命题无懈可击地为真。
从实用主义的角度看，“所有乌鸦都是黑色的”似乎仅讨论了黑乌鸦；但是把它翻译成精灵可理解的操作性定义，它的实际含义是“不存在非黑色的乌鸦”。
下面我们命令精灵检验换质位命题：“所有非黑的东西都是非乌鸦。”从精灵的角度看，这又是一个虚无缥缈的、不可理解的概括陈述。我们这样对精灵解释：“‘所有非黑的东西都是非乌鸦’这一命题仅在一种情况下为假——至少存在一只非黑色的乌鸦；仅在一种情况下为真——在任何地方都找不到非黑色的乌鸦。”
其实这也就是我们对原命题的解说。证明（或反驳）“所有乌鸦都是黑色的”所需的操作，完全等同于证明（或反驳）“所有非黑色的东西都是非乌鸦”所需的操作，于是我们有确切的理由断言：这两个命题是等价的。
也许你会质疑，二者还是有一个细微的差别——从“所有乌鸦都是黑色的”为真可以推出至少存在一只黑乌鸦，不是吗？
再比如要论证“所有半人马都是绿色的”这一假说。精灵搜索非绿色的半人马，没有找到，于是报告说此命题为真。当然，任何类型的半人马都是不存在的，因而，判定此命题为真会显得有些滑稽。
要点还是在于语义。对于逻辑学家来说，“所有半人马是绿色的”和“如果是一头半人马，则是绿色的”之类的命题是可以接受的。出于各种考虑，接受该命题为真是最便利的。因而，对于逻辑学家而言，一个命题和它的换质位命题并无差别。
你当然可以持相反意见，坚持认为若“所有半人马都是绿色的”为真，则要求至少存在一头绿色的半人马。这种观点使得亨佩尔的原命题和换质位命题之间出现了微妙的不对称性：对于原命题而言，我们必须要求精灵确保至少存在一只黑乌鸦，而后才能判定命题为真；对于换质位命题而言，精灵必须确保至少存在一只非黑色的非乌鸦（例如一条红鲱鱼）。在我看来，这个差别不足以影响两个命题之间本质上的等价关系。发现一只黑乌鸦或一条红鲱鱼的要求只是走个形式，精灵在两个任务中的实际工作还是确保非黑色的乌鸦不存在。
绝不要说绝不
一个“否定性假说”是在断言某物不存在。证明一个否定性假说是极其困难的。（绝不要说绝不。）一个精灵可以检查非黑色的乌鸦可能出现的每一个地点，从而证明非黑色的乌鸦不存在，但是我们人类不行。
假定你开始一次搜索乌鸦的历险。你见到了很多黑乌鸦，没有发现非黑色的乌鸦。最终你对整个任务感到厌倦。你所有的朋友都说，你绝对不会发现一只非黑色的乌鸦。可什么时候停止搜索是恰当的呢？
从实际角度来说，停止搜索是迟早的事。此后你会对不存在非黑乌鸦充满信心。然而，这并没有从逻辑上严格地证明所有乌鸦都是黑色的。为了达到逻辑上的严格性，实际上你不得不检查乌鸦在宇宙中所有可能的藏身之处。显然这是一个不切实际的要求。
哲学家有一个专门的词：“超级任务”，这个词表示一个过程需要无穷多的行动。有些哲学家认为，如果断定某事需要无穷多的行动，则此事根本是不可知的。达米特（Michael Dummett）给出一个例子：“在北极绝不会有城市。”为了检验这个命题，你可以钻进一台时间机器，调到一个确定的年份，旅行到那一年，检查一下北极是否有城市。如果没有，你再把时间机器调到另一个年份，再做一次检查。你可以知道在任何一个具体的时刻，北极是否有城市，但是这不等于知道北极会（或绝不会）有城市。判定后者需要建立无穷多的事实，完成无穷多的探查。
如果宇宙是无限的，则“不存在非黑色的乌鸦”同样是一个需要无穷多观察记录的命题。我们的精灵有能力完成经验方面的超级任务，但我们不能。在验证“所有乌鸦都是黑色的”这个命题时，我们之所以聚焦于发现黑乌鸦，而不是发现非黑色的乌鸦的失败尝试，实际原因就在于此。在实际上以搜寻反例为目的的过程中，已发现的黑乌鸦的数量成为“记录得分”的方法。在未发现非黑色的乌鸦的前提下，已发现的黑乌鸦的数量越大，我们对“不存在非黑色的乌鸦”的信心越充分。尼柯德标准主张，在寻求证实的过程中，以“记录得分”为目的，“黑乌鸦”是比“非黑色的乌鸦”更好的途径。为了解决亨佩尔悖论，我们必须探究其原因。
意识流
换一个分析角度。“非乌鸦”和“非黑色的东西”之类的概念是不自然的。在大多数场合，我们首先意识到某物是一只乌鸦、一条鲱鱼或是一把餐刀，我们不会自然地把对象当作“非乌鸦”“非鲱鱼”“非餐刀”。在亨佩尔悖论中，只有命题的最初形式（“所有乌鸦都是黑色的”）与人们实际的思考方式相符。
在分别面对亨佩尔的命题的两种形式时，我们的思维过程迥然不同。当我们见到一只乌鸦时，我们的思维会自然地如此运转：
（a）瞧，那是一只乌鸦。
（b）它是黑色的。
（c）这证实了“所有乌鸦都是黑色的”这一命题。
当我们面对一条红鲱鱼时，为了使观察和亨佩尔的假设关联起来，需要更加复杂曲折的意识流：
（a）这是一条红鲱鱼。
（b）它是红色的。
（c）哦，等一下，乌鸦悖论是怎么说的？对了，这是一个“非黑色的东西”……
（d）……而且它不是一只乌鸦。
（e）于是它证实了“所有非黑色的东西都是非乌鸦”这一命题。
（f）……而这一命题等价于“所有乌鸦都是黑色的”。
在第一个例子中，在步骤（a）和步骤（b）之间，我们已经意识到这个对象是乌鸦，而尚未考虑其颜色。在这一刻，原假说面临考验。在这个瞬间，乌鸦有可能是其他颜色的，即有可能推翻原命题。但是在第二个例子中，“所有非黑的东西都是非乌鸦”这一命题则从来没有真正地面临考验：在达到（c）以后，我们已经意识到对象是红色的（“它是非黑色的”这个结论是根据“它是红色的”这个已知条件推出的），并且它是一条鲱鱼（你很可能一直知道）。
为什么“乌鸦”是一个合理的概念而“非乌鸦”不是呢？这是因为诸乌鸦有许多一致的特征，而“非乌鸦”则是一个包罗甚广的词，一切不符合乌鸦的特征的东西都可以放进来。“乌鸦”这个概念代表一种身份，而“非乌鸦”这个概念只是一个背景。有个笑话说，某个雕刻家把所有雕得不像原型的作品统统敲碎。雕刻家不用负概念思考，科学家亦然。
从数字的角度对比这两个概念，则有另一个惊人之处。下面我们对最初的观点做进一步的探究：这个悖论与乌鸦和非乌鸦的相对数量有关。
无穷小的证实
如果需要考察的对象的数量明显是有限的，则亨佩尔的推理不必然导致悖论。假定宇宙中存在的全部东西就是七只密封的箱子。你不知道箱子里是什么，不过实际情况是：其中五只箱子各装着一只黑乌鸦，另外两只箱子中，一只装着一只白乌鸦，一只装着一枚绿山楂。在此情况下，如果打开一只箱子，发现其中是一枚绿山楂，你会很合理地认为这一发现确实证实了“所有乌鸦都是黑色的”。事实上，为了证明（或反驳）原假说，最迅速的方法就是调查所有非黑色的东西，因为乌鸦有六只，而非黑色的东西只有两个。当然，以上模型是人为设定的，需要假定预先知道要调查的东西的数量。实际情况是，我们很少知道要调查的东西的数量，尤其是在调查之初。
更常见的情况是，原假说涉及的对象的数量已知为有限，而其换质位命题则不然。为了确定“所有乌鸦都是黑色的”这个命题的真假，则需要耗费一定的时间、人力和财力，具体消耗取决于乌鸦的数量（或非黑色的东西的数量）。根据康奈尔大学鸟类学实验室的r·托德·恩斯特伦（R. todd Engstrom）的说法，世界上普通乌鸦的数量在50万左右。不过非黑色的东西的数量很难确定，那是一个天文数字。
假设有一天，我们发现尼斯湖怪兽确实存在，而且只有一只，声呐设备也证实这一物种仅此一只。我们需要检验这一假说：“所有尼斯湖怪兽都是绿色的。”我们可以乘潜艇接近这个怪兽，打开探照灯，通过舷窗向外看，观察结果是：此怪兽是绿色的。由于不存在其他的尼斯湖怪兽，“所有尼斯湖怪兽都是绿色的”这一假说由此已被证明。
在此例中，一个单独的检验对于假说的意义极为重大。这个假说被一只非绿色的怪兽驳倒的机会只有一次。如果用此假说的换质位命题进行检验，则显得比乌鸦的例子更荒唐。换质位命题是“所有非绿色的东西都是非尼斯湖怪兽”。假设我们找遍了世界上所有非绿色的东西，并且为其中的每一个配上编号。第42 990 276号是一只蓝色的草虫，它是非尼斯湖怪兽吗？是的！因而这是对假说的支持……
这是一条徒劳而迂回的路线。已经假定只有一只尼斯湖怪兽，于是潜在反例只有一个。用n表示所有非绿色的东西的数目，第42 990 276号是任选的一个非绿色的东西，它驳倒假说的概率不超过1/n。在可观察的宇宙中有大约1080个原子（这个数是在1后面加80个0），于是非绿色的东西的数目至少是1080，如果把抽象的东西（例如数）也算作非绿色的对象，那么非绿色的东西就有无穷多。
以上分析很有说服力，亨佩尔在20世纪40年代最早的沉思中已经有了这种思路。一条红鲱鱼可能确实证实了“所有乌鸦都是黑色的”，但是仅仅是在一个无穷小的程度上提供了证实，因为非黑色的东西太多了。相比之下，检查乌鸦的颜色显然是更有效率的证实假说的方法。哲学家尼古拉斯·雷谢尔（Nicholas Rescher）沿着这条思路，计算出以乌鸦或非黑色的东西为检验对象，在统计学上建立有效的样本分别需要花费的检验费用。他的结论是：以乌鸦为样本需1万美元，以非黑色的对象为样本需20亿美元。
现在还有一个矛盾需要解释：为什么一条红鲱鱼既可以证实“所有乌鸦都是黑色的”，又可以证实“所有乌鸦都是白色的”？这个问题可以转化为与数学中的无穷小类似的问题。一条红鲱鱼为“所有乌鸦都是黑色的”提供的证实相当于“1/无穷大”，分母表示非黑色的对象的数目是无穷大，分子表示一条红鲱鱼是这些对象中的一个。由于这条鲱鱼同时也属于非白色的对象，所以它同样为“所有乌鸦都是白色的”提供程度为“1/无穷大”的证实。根据定义，1除以无穷大的量等于无穷小，大于0但小于一切普通分数。
“无穷小的证实”是否使这个矛盾变得比较容易接受了？我们应当承认，一条红鲱鱼能够同时证实“所有乌鸦都是黑色的”和“所有乌鸦都是白色的”，但仅在无穷小的程度上。
微小的真理依然是真理，微小的谎言依然是谎言，矛盾终归是矛盾，即使只在无穷小的程度上。唯一的解决之道在于，认定在两个场合证实的程度都严格地等于0——就像普通常识所要求的那样。可是，为什么一个例证在证实其换质位命题的同时却没有证实原假说呢？[5]
“99英尺高的人”悖论
有时候，一个悖论的解决会对另一个悖论的分析有所启发。保罗·贝伦特（Paul Berent）的“99英尺[6]高的人”悖论是挑战尼柯德标准的另一个例子。假定我们接受一个合理的观念：“所有人的身高都不超过100英尺。”我们见到的每一个人都是支持此假说的例子。某一天，我们在马戏团见到了一个99英尺高的人，当我们离开马戏团时，我们对于“所有人的身高都不超过100英尺”的信心肯定下降了。这不是很奇怪吗？这个身高99英尺的人对原假说提供的其实是一个正例。
这个悖论的产生有两个根源。首先，我们的表达与思想并非总是严格相符。有时，言辞本身没有精确地（通常模糊地）表达我们头脑中的假说。
情况有可能是这样：我们的真实意思是，任何人的身高都不会达到异乎寻常的程度，不会比人类的平均身高超出一个数量级（或更多），100英尺这个具体数字反倒不是最重要的。这样一来，原本不被我们当作反例的99英尺的身高就成为一个反例。
如果使用公制度量衡系统，我们的想法可能表示为：“所有人的身高都不超过30米。”30米换算为英尺是98.43英尺，于是一个99英尺的人就成为一个针对30米假说的反例。有人觉得，身高99英尺的人在一定程度上威胁了“所有人的身高都不超过100英尺”这个语句所表达的思想——这就是咬文嚼字了。
下面讨论另一个根源。假定你和一个朋友就“所有人的身高都不超过100英尺”这一假说打赌，一旦发现一个身高100英尺（或以上）的人，你就输了，要在一家豪华餐馆请朋友吃饭。此时，我们关注这个假说的动机不是理智上的探索，而仅仅是设赌。我们只关心严格的字面意思，身高99英尺的人接近但没有达到要求。无论如何，这个人对你不构成威胁，你在打赌中还没输。
不过你还是会觉得，这个身高99英尺的人的出现干扰了你的假说为真的概率。这是因为，你知道许多关于人类的成长和变化的事实。根据这些知识，一旦发现一个身高99英尺的人，那么存在一个身高100英尺的人的可能性上升。几乎所有的人类的特征最终都需要重新考察，这个身高99英尺的人表明，就遗传和身体方面而言，人类身高达到100英尺是有可能的。
下面假定我们发明了一种方法，可以忽略所有无关紧要的信息而检验我们的假说。在纽约第五大道的最繁华处，我们在人行道上设置一个传感器，随时监测每一个经过的人。在传感器上方100英尺处安装一只电眼，当某个人踩到传感器时，电眼会判断一束距人行道100英尺的光线是否被某个高个子的行人遮蔽。用一个记录装置追踪所有行人，尤其是身高100英尺（或以上）的行人的通过情况。
我们通过检查仪表的读数获知结果。读数“0/310 628”表示共有310 628个行人经过，其中没有身高100英尺者。这310 628名行人中的每一个都是支持原假说的正例，都在完全相同的程度上提供证实。既然我们关于每个行人的全部信息仅仅是其身高是否低于100英尺，所以，判定某一个行人提供的证实比其他人多是荒唐的。
假如实际情况是，这个99英尺高的人走过第五大道并被仪器记录，他将和其他人一样对原假说提供证实，我们看不出差别。由于这个人的经过，仪表的读数由“0/310 627”变成了“0/310 628”，我们对原假说的信心有一个微小的增长。
显然，由于一些额外信息的存在（此人身高99英尺，以及我们关于人类基因变异的知识），一个简单的正例变成了一个显著的反例。
哲学家卡尔纳普（Rudolf Carnap）主张“总体证据要求”。在归纳推理中，必须采用全部可用信息，如果我们只看仪表的读数，而对这个身高99英尺的人一无所知，那么这个人是一个有效的正例；但如果我们知道得更多，他就不再是正例。
总体证据要求在科学界引起广泛深入的思考，因为生物化学、天文学、物理学等许多研究领域都涉及此问题。在研究基因或亚原子粒子时，我们的观察方法更接近于那个在人行道上监测行人的仪表，而非简单的观察。我们不能直接观察到RNA（核糖核酸）或夸克，更准确地说，我们提出一个具体的问题，而后通过仪器找答案。
假定我们对知识搜集不做不必要的限定，那么这种观察方法全无问题。如果我们忽略其他因素，并且我们必须如此，那么我们可以仅从可用信息的角度出发进行归纳。然而，我们搜集到的信息越完全，我们所做出的归纳就越有效。
乌鸦与总体证据
现在做一个小结。科学通常这样处理概括陈述——“所有X都是Y”。只有通过归纳，我们才能把感觉经验概括为可处理的形式。
概括陈述其实是隐蔽的否定性假说——“不存在非Y的X这样的东西”或者“以上规定没有反例”。一个概括陈述的换质位命题同样与这个否定性假说相对应。
在一个无限宇宙中，证明一个否定性假说是一个超级任务。（如果宇宙是有限的，但非常大，那么要证明一个否定性假说也是一项极其艰巨的工程，并且非常接近于一个超级任务，二者实际上并无差别。）我们无力完成超级任务，对于那些只能通过超级任务得到的知识，我们总是持怀疑的态度，这种怀疑是有道理的。
我们通过正例确立概括陈述。正例由“是Y的X”构成，在亨佩尔的例子中，正例就是黑乌鸦。用这种方法永远也无法严格地证明一个概括陈述，仅仅有可能反驳它（通过一个反例：一只非黑色的乌鸦）。记录观察到的黑乌鸦是一种记录得分的方法，标示出原假说在何种程度上得到确立。我们觉得每一只黑乌鸦都构成一个新的例证，在每个例证中，原假说都面临遭到反驳的风险，但最终还是通过了检验。然而，我们不觉得非黑色的非乌鸦有同样（或类似）的功能（非黑色的非乌鸦是原假说的换质位命题的例证）。当诉诸经验直觉时，乌鸦问题中的谜团得到了合理的说明。
总体证据要求是解开谜团的关键。如果我们对宇宙的了解少得可怜，以至于黑乌鸦、非黑色的乌鸦、黑色的非乌鸦、非黑色的非乌鸦对于我们来说仅仅是一些数据点，那么亨佩尔悖论提出的主张就是恰当的。
但是，我们对乌鸦的了解太多了，所以不能得出如上结论。例如，有人发现了一只患白化病的短嘴鸦（类似于一个99英尺高的人），这是一个非黑色的东西，而且是非乌鸦。然而，这个例证并不支持“所有乌鸦都是黑色的”的说法，恰恰相反，它提出了强烈的质疑。短嘴鸦与乌鸦属于同一物种，如果短嘴鸦能得白化病，那么乌鸦很可能也会得。这种背景信息是对证实的否定。
广而言之，我们知道乌鸦与相关鸟类的相似之处非常多，远多过它与红鲱鱼、蓝草虫之类的生物的相似之处。考虑到证据的总体性，我们发现，检验非黑色的非乌鸦是浪费时间。为了确定“所有乌鸦都是黑色的”这一命题的真假，最好的办法是观察乌鸦及其同类，研究生物差异。
通过比较乌鸦的数量与非黑色的东西的数量来讨论这个问题，恐怕会误导大家。重新考察前文的例子，假定宇宙由七只密封的箱子组成，多数人都会同意把非黑色的非乌鸦作为正例是恰当的。这个例子与真实世界的决定性的差别真的只是数量上的不同吗？
构想这样一个宇宙，宇宙包括（比方说）1080只密封的箱子。多数箱子中装的是黑乌鸦，有几只箱子装着绿山楂，某处也许有一两只白乌鸦。我们已经打开了许多箱子，迄今为止，只发现了黑乌鸦和绿山楂。此时，再打开一只新箱子，发现里面是一只黑乌鸦，这个发现证实了“所有乌鸦都是黑色的”——不过仅在一个微小的程度上证实，因为我们虽已打开了很多个箱子，但未打开的箱子仍不止亿万。
如果你打开一个箱子，发现里面是一枚绿山楂，是否同样对原假说提供了一个微小的证实呢？首先，这个发现意味着，我们所担心的潜在的反驳减少了一个；其次，它增强了我们的信心，使我们更加相信箱子里的对象有某种确定的颜色。你甚至可以提出这样一个新的假说来解释你的观念：“我所见过的所有乌鸦都是黑色的。事实上，所有我见过的非黑色的东西都是山楂，而非乌鸦。山楂是个‘支持性的例外’。”
在这个由密封的箱子构成的宇宙中，没有鸟类学，没有白化病，也没有生物变异。简单地说，不存在关于这个世界如何运行的背景信息。箱子里装的东西可以不是真正的乌鸦或山楂，只要放入一些写着“黑乌鸦”“白乌鸦”之类的文字的纸片就足够了。这样一来，这个问题就变成一个形式化的游戏。如果你打开一只箱子并发现纸片上写着“白短嘴鸦”，这对原假说而言依然是一个证实，而且与发现纸片上写着“绿山楂”相比，我们看不出有什么差别。
根据本能我们都知道，忽略背景信息是错误的，但是（在亨佩尔以前）在关于科学方法的讨论中，我们没有意识到这个重要的事实。我们没有必要否认一个命题和它的换质位命题等价。（逻辑学家认为否认这一点是不可能的！）亨佩尔简单地得出结论：我们必须对逻辑变换持谨慎态度。确实，把一个命题变换为换质位命题，结果与原命题等价，但是证实并不总是可以“识别出”逻辑变换。形形色色的方法都可能误导归纳推论的结果，这是众多悖论的根源。下文将讨论一个更麻烦的归纳悖论。
[1] 鸟类学注释：“乌鸦”通常指一个物种，拉丁名为“Covus Corax”，遍布北半球各地。爱伦·坡的诗歌《乌鸦》中说的就是这种鸟。乌鸦为黑色，带有以绿、紫、蓝为主的光晕。墨西哥和美国西南部有一种更小的鸟，名为“Chihuahuan乌鸦”（拉丁名为Corvus Cryptoleucus），这种鸟通体为黑色，在低头时会露出白色的脖子。我从来没见过白乌鸦，也没见过颜色明显不是黑色的乌鸦，但是，如果这样的乌鸦确实存在，我也不会感到惊讶。当然，以上内容与当前主题无关。在本注释以外，我将假定乌鸦的颜色是完全确定的，而且没有人曾经见过颜色非黑的乌鸦。
[2] 科学哲学家所说的“证实”与日常语言中的“证实”略有不同。在日常语言中，“证实”通常表示确定某一命题为真，但是在哲学语境中，“证实”只表示提供支持。——译者注
[3] 其实一个观察结论同时证实两个相互排斥的假说并不荒唐。考虑此例：A和B是两个相互独立的事件，命题p断定“事件A和事件B都发生”，命题q断定“事件A发生而事件B不发生”。显然，两个命题不可同时为真，因而相互排斥。于是，一个观察结论同时证实了两个相互排斥的假说。——译者注
[4] 勒维耶是巴黎天文台的天文学家，于1846年最先计算出海王星的位置，他的计算直接导致海王星被发现，后任巴黎天文台台长。在发现水星轨道的偏差以后，他先入为主地认定在水星轨道内还有未知行星，并且在未取得任何观测依据以前就为这颗行星取好了名字——伍尔坎。号称发现伍尔坎的业余观测者的身份是小镇医生兼木匠，他所谓的发现几乎可以肯定是假报，令人惊讶的是，勒维耶作为权威天文学家竟极其轻率地采信了这个所谓的发现。——译者注
[5] 本节的分析相当精彩，遗憾的是，在讨论“一个例证同时证实两个相互排斥的命题”时，作者犯了错误。作者先入为主地认定，这种情况是荒谬的矛盾。请参阅本书第30页注释。——译者注
[6] 1英尺≈0.305米。——译者注