复合命题的命题公式

标点符号

正如我们在以上例子中看到的，圆括号、中括号以及大括号可以被用于指示各个逻辑联结词的辖域，以消除公式中的歧义。当通过逻辑联结词把一个复合命题与一个简单命题（或者另一个复合命题）连接在一起时，圆括号是确定各个联结词辖域的首要选择。对于一个比较复杂的复合命题，可能需要中括号，而对更加复杂的复合命题，则使用大括号来确定辖域。因此，最先使用小括号，然后是括号，最后为大括号。在专栏11-2中，我们列出了一些正确使用它们的例子。

专栏11-2　标点符号

复合命题（P ·Q）∩R是一个条件式，而P·（Q∩R）是一个合取式。如果没有中括号，P · Q∩R∨～S是有歧义的，因为在该公式中，哪个联结词是主联结词并不明确。它允许有两种解释，一种是条件式，另一种是析取式。最后，在～{[（P · Q）∩R] ∨～S }中，主联结词是最左边的否定，它影响着整个公式。这可与～[（P· Q）∩R]∨～S进行比较。现在，在没有大括号的条件下，否定词的辖域是由中括号括起来的条件命题，而整个公式是一个析取式，而非否定式。

合式公式

一个公式表示一个命题。不论它是简单的还是复合的，只要它在我们正在使用的符号系统中是可接受的，它就是合式的。为了确定一个复合公式是否为合式公式，确定其真值联结词的辖域是至关重要的。

在否定的辖域内，紧跟的是简单或复合命题。否定是唯一一个一元联结词，其辖域或是简单命题，或是复合命题。对于其他联结词，在它们的辖域内均有两个公式（简单的或复合的）。合式公式通常需要标点符号来标识出各个联结词的辖域。

回想上述例11-52b，即（L∩K）·（K∩L）。它是包含两个条件式的合式公式，使用小括号来消除歧义。在这里，小括号是为了表明这个复合命题是由两个条件式的合取构成的。

即使两个公式中的命题符号完全相同，改变标点的位置也可以产生不同的命题。例如，我们考虑L∩［K ·（K∩L）］。它是一个条件式，其前件为简单命题，后件为复合命题（是一个简单命题与一个条件命题的合取式）。如果它为假，那么可以引入否定词而得到～{L∩[K ·（K ∩L）]}。这些都是合式公式。但是，专栏11-3中的公式不是合式公式。

专栏11-3　某些“不合式”的公式

P～Q

P～

P∨Q · P

复合命题的符号化

接下来，我们将仔细考察一些复合命题。首先，请考虑如下例子：

例11-55　福克斯新闻在电视上播放。

因为在这个命题中没有联结词，所以例11-55可以被符号化为一个简单命题：

例11-55a　F

与之不同的是，例11-56包含一个否定词，因此是复合的。例11-56可以被符号化为例11-56a。

例11-56　哥伦比亚广播公司的新闻不在电视上播放。

例11-56a　～C。

现在考虑例11-57，它是例11-57a的简化形式。

例11-57　福克斯新闻在电视上播放，而哥伦比亚广播公司的新闻不在。

例11-57a　福克斯新闻在电视上播放，而哥伦比亚广播公司的新闻不在电视上播放。

上面两个语句都是包含合取和否定联结词的复合命题。然而，它们的主联结词是合取，其辖域是整个复合命题。否定联结词的辖域仅仅是第二个命题。确定辖域的原则如下：

否定联结词的辖域总是那个紧跟在波浪形符号之后的命题。该命题可以是简单的或者复合的。在有些情况下，为了消除歧义，以获得一个正确的符号表达，我们需要使用标点来指明哪一个复合命题位于否定联结词的辖域之内。

在例11-57中，因为否定词的辖域非常明确，在对它进行符号化时，不需要使用小括号：

例11-57b　F·～C

如果已知F和C都为真，那么上面这个公式的真值是什么？使用否定联结词的真值规则，可以知道～C为假，再使用合取的真值规则可以知道例11-57也为假。

接下来，让我们确定例11-58中的主联结词。

例11-58　如果哈利（Harry）和马吉尔（Miguel）是球队的球员，那么比尔（Bill）就不能在队里。

例11-58是一个条件式，其前件和后件都是复合命题。我们可以用符号把它表示为：

例11-58a　（H · M）∩～B

例11-58a的前件是H与M的合取式H · M，后件是B的否定式～B。为了表明主联结词是条件形式，例11-58a的前件需要使用小括号，因为否定词的辖域很明显是B。

假设H和B为真，M为假，我们来计算上述公式的真值。给定这个假设，例11-58a是真的，因为其前件为假。在这种情况下，其后件～B为假并不重要，为什么？因为依据条件式的真值规则，前件为假就足以使得整个条件式为真。例11-58a的前件是假的，因为其中一个合取支M是假的。我们回忆一下，依据合取式的真值规则，一个合取支为假就足以使得整个合取式为假。因为包含假前件的条件式为真，在当前这个假设下例11-58a为真。同时，用自然语言表示的相应句子，即例11-58，也为真。

再考虑一个例子：

例11-59　蝙蝠（Bats）是夜行动物，当且仅当“或者金鱼（Goldfish）是哺乳动物，或者金花鼠（Chipmunks）属于啮齿目”。

我们用“B”表示“蝙蝠是夜行性动物”，用“G”表示“金鱼是哺乳动物”，而用“C”表示“金花鼠属于啮齿目”。主联结词为条件联结词，其左边是一个简单命题，而右边是一个析取命题。例11-59可以用符号表示为：

例11-59a　B≡（G∨C）

令B和C为真，G为假。由于已知B的值，为了确定整个双条件式的真值，我们需要知道G∨C的值。因为这个析取式至少有一个真的析取支C，所以它是真的。由于例11-59a的支命题具有相同的真值，所以它是真的。

使用相同的符号，我们来表示下列两个命题：

例11-60　并非“要么金花鼠属于啮齿目，要么它们不属于啮齿目”。

例11-60a　～（C∨～C）

例11-61　下列情况是假的：“蝙蝠是夜行动物”等价于“如果金鱼是哺乳动物，那么金花鼠属于并且不属于啮齿目”。

例11-61a　～{B≡[G∩（C·～C）]}

对于命题C、B和G，在与上述相同的赋值条件下，可以计算出例11-60a是假的。这是因为，当C为真时，析取式C∨～C为真，而例11-60a是该析取式的否定。同时，例11-61a也是假的，这是因为它是一个值为真的双条件式的否定式。在这个双条件式中，两个子公式具有相同的真值。因为[G∩（C ?～C）]的前件和后件都假，该条件式为真。C ?～C为假，因为该合取式包含了一个假的合取支，～C。

下面是一些建议。在计算一个复合命题的真值时，如果已知各个简单命题的真值，可以依据如下步骤：

（1） 在各个简单命题符号的下方标出该命题的真值。

（2） 找出主联结词。它是最终结果将要被标记的地方。

（3） 使用联结词的真值规则，先计算较复杂命题内部的相对简单的复合命题的真值，再计算外部命题的真值。

（4）假设你想计算～[（E?L）∩（M∨～F）]的真值，而且你知道E和L是真的，M和F是假的。你可以按照步骤（1）～（3），建构下图：