这一章中要讨论的是数学，数学与哲学关系亲密。相对于艺术、哲学、文学方面，希腊人在数学和天文学方面的成就更令人信服。他们的天文观察从很早就开始了，而几乎所有的数学证明方法都是源自希腊。
从一些有趣的历史传说中我们可以看出为什么希腊的数学如此发达。传说泰勒斯在埃及的时候，奉命测量金字塔的高度。他在身高同影子相等时，去测量金字塔的影子，从而得知金字塔的高度。传说祭司们受到神的旨意，要求他们将神像体积增大一倍。祭司们试图将原神像边长增加一倍，结果神像体积增大了八倍。一筹莫展的他们只好将这个问题交给柏拉图解决，这个问题被几何学家研究了几个世纪。这个问题便是给2开平方的问题。
关于求2的平方根的问题，早在毕达哥拉斯时期就存在，毕达哥拉斯学派还通过各种方法去求它的近似值。
很多人都认为毕达哥拉斯在数学上作出了很多贡献，例如：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，直角三角形的内角和等于两个直角，等等。
2的平方根是最早被研究的无理数，之后狄奥多罗斯、泰阿泰德都曾经研究过其他无理数。德谟克利特甚至还写过一篇关于无理数的论文，柏拉图在《泰阿泰德篇》曾经提及过这篇论文，只可惜现在已经没人知道论文的内容。
对无理数的研究推动了欧多克索斯在数学方面的发现。在他之前已经有了关于比例的算数理论，即a乘d等于b乘c，则a比b就等于c比d。他发明了关于比例的几何理论，打破了在算数理论中只能是有理数的界定。
《毕达哥拉斯与波伊提乌进行算术比赛》（想象画，1503年）。图中，左边的波伊提乌使用阿拉伯数字演算，计算完成后，他骄傲地看着右边运用算盘演算的毕达哥拉斯
欧多克索斯在积分学上也有研究成果，这个成果后来被阿基米德推广开来，得到了“阿基米德公理”。
欧几里得，约公元前300年生活在亚历山大港。《几何原本》中的多数内容虽不是他所创，但是其中的框架都是来源于他。他在证明平行线的平行定理中显现了高超的智慧。他在无理数、立体几何、正多面体方面都有研究。
《几何原本》被看做是欧几里得的著作，它是希腊数学的里程碑，是人类史上最伟大的著作之一。它的缺点是运用的方法都是演绎法，有局限性；并且根据假设进行推论，假设的正确与否没有保证。
在欧几里得所处的时代，数学研究只是在理论阶段，没有实用价值。直到十七世纪伽利略发现抛物线运动，才发现古希腊人研究的圆锥曲线的实际用处。当今各个领域所用到的许多数学知识，都是出自古希腊人凭借兴趣进行的研究。
阿拉伯人比罗马人更懂得欣赏欧几里得的几何学，有关欧几里得《几何原本》的最早的拉丁文译本是从阿拉伯语译本翻译过来的，当时是公元1120年。之后西方才逐渐恢复了对几何学的研究，到文艺复兴时才取得较大的进步。
除了数学以外，希腊人在天文学上取得的成就也很辉煌。希腊之前，埃及与巴比伦在天文学上都有所成就，为希腊天文学发展打下了基础。他们记录行星轨迹，能预测月食发生的时间；巴比伦人还将直角规定为九十度，每一度规定为六十分。
首先，我们要了解一下当时希腊的一些成就。有人认为我们脚下的大地是浮动的，就像海上的船一样。亚里士多德反对这种说法，他的理由是如果大地真是浮动的，那它没有理由向一边浮动而不向另一边浮动。这就像那头被饿死的蠢驴，左右两边是一样的草，它没有理由吃一边的而不去吃另一边的。
毕达哥拉斯根据审美的需求假设地球是球形的，科学的理由不久后也被发现。毕达哥拉斯学派根据月食时地影的形状，判断地球是球形的。阿那克萨哥拉则认为地球是平的，他最早发现了月亮的光是反射光。他们认为包括地球在内的星球都是在圆形运动，但不是围绕太阳，而是“中心的火”，太阳的光是反射自“中心的火”。
这些学说虽然不科学，有许多幻想成分，但是十分重要。它们是后来哥白尼进行假设的基础条件。他们认为地球不是宇宙中心，只是一颗普通星球。这些说法将人类从地球中心说中解放出来，使得人类更客观地看待问题，为发展科学创造环境。
后来，恩诺皮德斯根据黄道斜角得知太阳与地球之间的大小关系，赫拉克利德发现了金星和水星的运行轨道，那就是绕太阳运动。他还提出了地球每24小时自转一周的说法。
阿里斯塔克斯的生活年代大约是公元前310年至公元前230年。古代天文学家中他的人气最高，因为他最早提出包括地球在内的星球都围绕太阳旋转，同时地球每24小时自转一周。这个观点可能是他晚期的认识，因为在他唯一流传下来的书中没有提及这一点。无论如何，他提出过太阳中心说的事实是没有疑问的。阿基米德为此提供了最好的证据。
阿基米德比阿里斯塔克斯年轻二十五岁，他在给叙拉古国王的一封信中提到了阿里斯塔克斯的太阳中心说。在普鲁塔克、艾修斯和塞克斯都·恩披里柯的书中都提到了阿里斯塔克斯提出太阳中心说这件事。
当时阿里斯塔克斯提出的太阳中心说只是一种假说，后来塞琉古将这种假说明确下来，但在当时没有受到广泛接受。希巴古就明确表示反对，希巴古被希斯称为古代最伟大的天文学家。他最早发现了三角学，发现了岁差，还计算过日月的大小和间距，并记录下了580颗恒星的经纬度。他改进了周转圆的理论就是为了反对太阳中心说，这种理论后来成了托勒密体系的基础。
《阿基米德》（意大利，多米尼克·费蒂绘，1620年）。阿基米德（前287—前212），古希腊哲学家、数学家、物理学家，力学之父。发现了杠杆原理，据说还发明了阿基米德式螺旋抽水机
后来在哥白尼提出太阳中心说的时候，人们几乎已经忘记了阿里斯塔克斯。哥白尼认为他是自己学说的有力支持者。
古人们在进行有关天体的运算时，方法上没有问题，但是缺乏精密仪器。不过，这更让他们取得的成就令人惊叹。埃拉托斯特尼计算的地球直径只比实际少50英里，托勒密推算月亮与地球的平均距离与实际距离相差无几。只是他们之中没有人能大体推算出地球到太阳的距离。离正确答案最接近的是波希多尼，他认为是地球直径的6546倍，而正确答案是11726倍。
古希腊的天文学知识中全是几何学因素，没有力的因素。牛顿将力的因素引进到天文学当中。不过，后来爱因斯坦在普遍相对论中又摒弃了力的因素。
在天文学上，阿基米德和亚婆罗尼是两位伟大的人物。阿基米德是伟大的数学家、物理学家、流体静力学家；亚婆罗尼的主要贡献是对圆锥曲线的研究。他们对哲学的影响不是太大，所以不再多作说明。
这两人处于当时时代的末期，之后随着罗马入侵，希腊思想随着政治上的沦陷变得停滞。后人开始无限制地崇拜前人的学说，停止了继续钻研。